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방진(方陣)·마법진이라고도 하는데, 이것은 영어의 'magic square'를 번역한 말이다. 정사각형의 1변에 나열된 수의 개수 n에 따라서 n방진, 즉 3방진, 4방진, … 등이라 한다. 합은 3방진에서 15, 4방진에서는 34, 5방진에서는 65가 되며, n방진에서는 n(n²+1)/2가 된다. 방(方)은 정사각형, 진(陣)은 나열한다는 뜻으로 중국에서는 3,000년 전부터 알려져 있었다.

전설에 의하면, 우(禹)가 낙수(洛水)의 치수공사를 할 때 나타난 거북의 등껍데기에 그림이 새겨져 있었다고 하는데, 이 그림을 낙도(洛圖)·하도(河圖)·낙서(洛書) 등이라 하였고, 이것과 오행설(五行說)을 결부시켜 일백수성(一白水星)이라거나 사록목성(四綠木星)이라 하여 운세 판단에 응용하기도 했다.


중국에서 마방진을 설명한 책은 송(宋)나라의 《양휘산법(揚輝算法)》(1275)이 최초인데, 여기에는 3방진부터 8방진까지 취급되고 있다. 또, 명(明)나라의 정대위(程大位)가 지은 《산법통종(算法統宗)》(1593)에는 3방진부터 10방진까지 실려 있다.

한국에서는 조선 숙종 때 영의정을 지낸 수학자 최석정(崔錫鼎:1646∼1715)이 절묘한 방진을 창안하여 그의 저서 《구수략(九數略)》에 실었다. 이 책에 있는 방진은 l~81까지의 정수를 중복없이 배열한 것으로, 큰 사각형 전체로도 마방진(가로, 세로로만 합이 같다)이 될 뿐만 아니라 그 안에 있는 9개의 정사각형도 역시 마방진(가로, 세로로만 합이 같다)을 이루고 있다. 또, 1~30까지의 정수를 중복없이 배열하여 육각형을 이루도록 했는데, 육각형에 있는 수를 합하면 각각 93이 된다.

서양의 마방진은 중국 것에 비해 시대적으로 뒤떨어지지 않은 것으로 알려져 있다. 유럽에서도 한때 점성술의 대상이 되었으며, 마방진을 새긴 부적 등이 만들어지기도 했다. 독일의 기하학자이며 화가로 유명한 A.뒤러의 동판화 《멜랑콜리아》(1514)에 그려진 마방진이 유명한데, 이것은 유럽의 마방진으로서는 가장 오래 된 부류에 속하는 4방진이다. 이후 P.페르마 등이 방진을 연구한 것이 있으며, L.오일러가 연구한 것도 있다. 현재도 동서양에 걸쳐 마방진을 연구하는 사람이 많다.

마방진을 만드는 방법은 여러 가지로 고안되어 있으며, 단 한 가지 방법으로 모든 마방진을 만들 수는 없다. 그 중 이론적으로 가장 생각하기 쉬운 것은 n방진인데, 이것은 n진법의 기수법(記數法)을 쓰는 것이다.

일정한 규칙에 따라 네모진 틀에서 마방진을 만들 때는 규칙대로 수를 써넣으면 되지만, 홀수방진과 짝수방진은 만드는 규칙이 다르다. 각 마방진을 얼마만큼 만들 수 있는지는 확실하지 않으나 주어진 마방진을 회전시키거나 뒤집어보아 숫자의 배열이 같은 것을 같은 마방진으로 세면 3방진은 하나밖에 없으나, 4방진의 종류는 무려 880가지나 있다.

1693년 B.프레니클이 880개의 마방진을 전부 만들어 발표한 이래 많은 사람들이 여러 가지 방법으로 그것들을 확인하였다. 마방진 중에는 완전방진 또는 나시크방진이라는 것도 있다. 이것은 H.쇼츠크의 작품으로 8방진을 가로 또는 세로 방향으로 둥글게 원통형으로 하면 8개씩 16개의 대각선이 되는데 그 수의 합은 모두 일정하다.

이를테면, 62＋34＋24＋12＋5＋25＋47＋51=260, 2＋15＋19＋37＋57＋56＋44＋30=260 이다. 또, 16개 대각선의 수의 제곱의 합도 11180으로 일정하다. 이 밖에도 소수(素数)만으로 이루어진 소수방진을 비롯, 입체방진·뺄셈방진·곱방진·오일러방진 등이 있다.

홀수방진
n=3인 경우, 즉 3방진의 경우를 보기로 들면 다음과 같다. ⑴ 맨 윗줄 중앙에 1을 쓴다. ⑵ 오른쪽 위의 대각선 방향으로 2, 3, 4,…를 차례로 쓴다. ⑶ 수를 쓴 자리가 위쪽으로 가버릴 때는 그 수를 쓸 자리의 열의 맨 아래 칸에 쓴다. ⑷ 수를 쓴 자리가 오른쪽으로 나가버릴 때는 그 수를 쓸 행의 왼쪽 끝 칸에 쓴다. ⑸ 오른쪽 위의 칸에 이미 숫자가 들어 있거나 오른쪽 위의 코너에 왔을 때는 그 수의 바로 아래 칸에 쓴다.

짝수방진
짝수방진을 만드는 일반적인 규칙은 없다. 여기서는 4방진을 만드는 방법을 소개한다. ⑴ 먼저와 같이 1~16까지를 차례로 써넣는다. ⑵ 대각선을 그어 대각선 위에 있는 수를 ∥표를 중심으로 하여 서로 점대칭의 위치에 있는 것끼리 바꾸어 놓는다.